概率論的基本概論
第一章 概率論的基本概論


確定現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象，如向上拋一石子必然下落，等

隨機現(xiàn)象：稱某一現(xiàn)象是“隨機的”，如果該現(xiàn)象（事件或試驗）的結(jié)果是不能確切地預測的。

由此產(chǎn)生的概念有：隨機現(xiàn)象，隨機事件，隨機試驗。
例：有一位科學家，他通曉現(xiàn)有的所有學科，如果對一項試驗（比如：擲硬幣），該萬能科學家也無法確切地預測該實驗的結(jié)果（是正面朝上還是反面朝上），這一實驗就是隨機實驗，其結(jié)果是“隨機的”----為一隨機事件。

例：明天下午三點鐘”深圳市區(qū)下雨”這一現(xiàn)象是隨機的，其結(jié)果為隨機事件。

隨機現(xiàn)象的結(jié)果（隨機事件）的隨機度如何解釋或如何量化呢？

這就要引入”概率”的概念。

概率的描述性定義：對于一隨機事件A，用一個數(shù)P(A)來表示該事件發(fā)生的可能性大小，這個數(shù)P(A)就稱為隨機事件A發(fā)生的概率。



§1.1 隨機試驗

序號 條件 觀察特性 可能結(jié)果

E1 拋一枚硬幣 正、反面出現(xiàn)的情況 正面H,反面T
E2 將一枚硬幣拋擲三次 正、反面出現(xiàn)的情況 HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT
E3 同上 出現(xiàn)正面的次數(shù) 0,1,2,3

E4 拋一顆骰子 出現(xiàn)的點數(shù) 1, 2, 3，
4，5，6

E5 記錄電話交換機呼喚次數(shù) 一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù) 0,1,2,3,….
E6 一批燈泡中任抽取一次 測量使用壽命 非負實數(shù)

E7 記錄某地晝夜溫度 最高和最低溫度

以上試驗的共同特點是:
1．試驗可以在相同的條件下重復進行；
2．試驗的全部可能結(jié)果不止一個，并且在試驗之前能明確知道所有的可能結(jié)果；
3．每次試驗必發(fā)生全部可能結(jié)果中的一個且僅發(fā)生一個，但某一次試驗究竟發(fā)生哪一個可能結(jié)果在試驗之前不能預言。
我們把對隨機現(xiàn)象進行一次觀察和實驗統(tǒng)稱為隨機試驗，它一定滿足以上三個條件。我們把滿足上述三個條件的試驗叫隨機試驗，簡稱試驗，記E。

§1.2樣本空間與隨機事件

(一) 樣本空間與基本事件
E的一個可能結(jié)果稱為E的一個基本事件，記為ω，e等。
E的基本事件全體構(gòu)成的集，稱為E的樣本空間，記為S或 ,
即：S={ω|ω為E的基本事件}， ={e}.
注意：ω的完備性，互斥性特點。

例：§1.1中試驗 E --- E7
E ：S ={H,T}
E ：S ={ HHH,HHT,HTH,THH,
HTT,THT,TTH,TTT }
E ：S ={0，1，2，3}
E ：S ={1,2,3,4,5,6}
E : S ={0,1,2,3,…}
E ：S ={t }
E7：S ={ }

（二） 隨機事件
我們把試驗E 的全部可能結(jié)果中某一確定的部分稱為隨機事件。記為
事件是由基本事件組成的，事件是樣本空間的子集。
集合論 集合 點 子集
概率論 S A

在一次試驗中，事件A 發(fā)生的含義是，當且僅當A 中的某一個基本事件發(fā)生。事件A 發(fā)生也稱為事件A 出現(xiàn)。
必然事件：S
不可能事件：

例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出現(xiàn)是的H”,
即：



(三) 事件的關系與運算

設E 的S ，A ，B，
1．
2．
3．
4．
5．

7． 。
記 。

(常用的關系） 補充
1．
2．
3．

吸收律
若 ，則
特別注意：

德•莫根律（對偶公式）


推廣： ， 。

例2：P6,在例1中….
其它例子：

例3： ：設 {甲中}， {乙中}，問 與 各表示什么事件？是否是相等事件？
留為練習

例4：一射手向目標射擊3發(fā)子彈， 表示第i次射擊打中目標 。試用 及 其運算表示下列事件：
（1）“三發(fā)子彈都打中目標”；
（2）“三發(fā)子彈都未打中目標”；
（3）“三發(fā)子彈至少有一發(fā)打中目標”；
（4）“三發(fā)子彈恰好有一發(fā)打中目標”；
（5）“三發(fā)子彈至多有一發(fā)打中目標”.
留為練習


§1.3 概率與頻率

(一） 事件的頻率及其穩(wěn)定性
設某試驗 的樣本空間為 ， 為E的一個事件。把試驗E重復進行了n次，在這n次試驗中，A發(fā)生的次數(shù) 稱為A的頻數(shù)。稱 為事件A在n次試驗中發(fā)生的頻率，記作:
。

頻率的基本性質(zhì)
(1) 對任意事件A，有 ；
(2) ， ；
(3) 若 是互不相容的，則 ，

推論：對任一事件A，有 。

實踐證明：當試驗次數(shù)n很大時，事件A的頻率 幾乎穩(wěn)定地接近一個常數(shù)p。頻率的這種性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性，它是事件本身所固有的。書上p8—9頁例1，2.

概率的頻率定義

定義1.1 在一組不變的條件下，重復作n次試驗，記m是n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當試驗次數(shù)n很大時，如果頻率 穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動，而且一般地說，隨著試驗次數(shù)的增加，這種擺動的幅度越來越小，則稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作 p。

補充：概率的幾種度量方法
事件A的概率，記為P(A)，表示該事件發(fā)生的可能性大小，是事件的一個非負實值函數(shù)，滿足某種概率進行代數(shù)運算的公理。

對概率P(A)有幾種不同的度量方法：
前面給出了用頻率度量概率的方法，也稱為古典概率度量。還是二種度量方法。

1. 幾何概率度量



表示”在區(qū)域 中隨機取一點，而該點落在區(qū)域g中”這一事件。

例：






這時， 可以是整個園：測度為面積；也可以是整個園周：測度為長度。

2. 主觀概率度量

對事件A的信念度稱為這一事件的概率P(A).
主觀概率（信念度）是通過相對似然的概念來運算的。

例如：見朱手稿。。。

現(xiàn)通過例子說明此方法：

例1：事件A”明天下午3點深圳市區(qū)有雨”，
求P(A): 即求A的主觀概率；
現(xiàn)有一大轉(zhuǎn)盤，標有紅色區(qū)域，事件B：”指針落在紅色區(qū)域”。
讓你選擇A發(fā)生還是B發(fā)生的可能性大，為了迫使你選擇，有這樣的將勵機制，。。。選擇對的話，將10萬元。。。


紅色區(qū)域



如果開始時，紅色區(qū)域充滿整個園，你當然要選B發(fā)生的可能性大，逐步調(diào)節(jié)紅色區(qū)域的大小，漸漸縮小，。。。等到選A或B都一樣時停止，這時，可以由B的幾何概率作為A的主觀概率。

當你對選A或B誰發(fā)生的可能性大沒有偏好時，。。。

例2. 假如你面臨以下兩種選擇：1.如果事件A發(fā)生，你將得到少量的報酬R；否則沒有報酬。2.參加抽獎，你贏得一份小報酬R的概率為P，但是你輸或者說你得不到報酬的概率為1-P。
如果你對1，2兩種選擇沒有偏好，那么你判斷事件A發(fā)生的概率為P.(主觀)



(二) 概率的公理化定義

概率的公理化定義
定義1.2 設試驗E的樣本空間為S，如果對每一個事件A都有一個實數(shù) 與之對應，且滿足下面三條公理：

公理1（非負性）：對任一事件A，有 ；

公理2（規(guī)范性）：對必然事件S，有 ；

公理3（完全可加性）若可列無窮多個事件 互不相容，則 ，那么稱 為事件A的概率。

概率的性質(zhì)
(1) ;
(2)有限可加性: 若 互不相容，則 ;
(3)對事件A,都有 ;
(4) 若 ,則  ;
 ；
特別的，對任何事件A，都有 ;
(5) 對任何兩個事件A,B，都有
;
(6) 對任何n個事件 ,都有



例10---12為第一版上的例子。

例10： A,B是E中二個事件，已知
， ，求
解：


例11：在某城市的居民中訂購報紙的情況是：訂購A報的占45%，訂購B報的占35%；訂購C報的占30%，同時訂購A,B的占10%，同時訂購A,C的占8%，同時訂購B,C的占5%，同時訂購A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）
（1）{只訂購A報紙的}；（2）{至少訂一種報紙的}。

例12：在所有的兩位數(shù)（即從10至99）中，
任取一個數(shù)，求這個數(shù)能被2或者3整除的概率。


§1.4 等可能概型（古典概型）
一、古典概率
1．古典概型與計算公式
E滿足：
① S中基本事件ω個數(shù)是有限的n ；
② 每個基本事件發(fā)生是等可能的.
稱E為古典概型。
E中事件A包含k個基本事件，則A發(fā)生的概率為 P(A).

2．古典概率的基本性質(zhì)
設E是古典概型，其樣本空間為 ，A，A ，A ，…，A 是E中事件：
①．0≤P（A）≤1
②．P（S）=1，P（ ）=0
③．若A ，A ，…，A 是互不相容的事件，則有P ；

推論： P（A）=1- P（ ）。


例1． P13，將一枚硬幣擲三次，。。。。

P14---17 例2—7.照書上講。。。


以下例4---9為第一版上的例子：

例4：E 中求任取一球的號碼為偶數(shù)的概率。
解：設A={所取的球的號碼為偶數(shù)}={ 2，4，6 }
即A中基本事件數(shù)k=3，于是P（A）= .

例5：（1.10）在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼 。每次任取一個球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個。這種取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率。

例6：(1.11) 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼 。每次任取一個球，記錄其號碼后不放回袋中，再任取下一個。這種取法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3個球，求這3個球的號碼均為偶數(shù)的概率。

例7：盒中有a個紅球，b個白球（a≥2 , b≥1），
每次從中任取一球，不放回地連取三次，求下列事件的概率：
(1) “ 取出的三個球依次為紅，白，紅色球 ” A ；
(2)“ 取出的三個球有兩個是紅色球 ” B .

例：(1.13) 在一袋中有10 個相同的球，分別標有號碼 。今任取兩個球，求取得的第一個球號碼為奇數(shù)，第二個球號碼為偶數(shù)的概率。

例8：（1.14）設一批同類型的產(chǎn)品共有 件，其中次品有 件。今從中任取 （假定 ）件，求次品恰有 件的概率

例9：一箱內(nèi)裝有同類產(chǎn)品六件（其中4件是正品，二件是次品）。從中每次取一件，連取兩次。求下列事件的概率：
（1）“ 取到的兩件產(chǎn)品的質(zhì)量是相同的 ” A ；
（2）“取到的兩件產(chǎn)品至少有一件是正品” B .




§1.5 條件概率

(一） 條件概率
例1 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況，設事件A為”到少有一次為H”， 事件B為”兩次擲出同一面”。現(xiàn)在來求已知事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率。
解：樣本空間為S={HH,HT,TH,TT},
A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}
于是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率（記為P(B/A)）為：

P(B/A)=1/3
注意到：


易知：



1. 定義：設A,B為E中的二個事件，且 ，則在事件A已發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率定義為： .同樣若 ，則 。
2. 性質(zhì)（定理）
如果 ,則 是概率.

3. 計算方法
法一：公式計算法;
法二：直接計算法.

不難驗證，條件概率P(•/A)符合概率定義中的三個條件：
1.非負性
2.完全性
3.可加性

P19

例2 P19，。



下面的例11--13為第一版。

例11：甲乙二廠同生產(chǎn)一種零件，分放在二個箱內(nèi)，它們產(chǎn)品的情況如下：


正品 次品 小計
甲廠 50 20 70
乙廠 25 5 30
小計 75 25 100
從中任取一件產(chǎn)品，求下列事件的概率：
（1）“取得的一件產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品”=A;
(2)“取得的一件產(chǎn)品是次品”=B;
(3)“取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品”;
(4)已知取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的，求它是次品的概率。

例12：在標號依此為 的15個同類球
中，任取一球。易算出下列事件的概率和條件概率。
(1)取得“標號為偶數(shù)”（事件A）的概率；
(2)取得“標號小于6”（事件B）的概率；
(3)取得“標號既為偶數(shù)，又小于6”（事件AB）的概率；
(4)若已知“所取球的標號小于6”（即在B已發(fā)生的條件下），則“球的標號為偶數(shù)”（即A再發(fā)生）的概率。
例13：(書例1．20) 設有100件同類型的產(chǎn)品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。從中任取一件，已知“取得的是非次品”（事件B），求“它是一等品”（事件A）的概率。


(二)概率的乘法公式
定義： 設兩個事件 ,且 ，由條件概率公式得 ,若 ,有 稱為概率的乘法公式（定理）.

例3，4，P21---22;


例14—16為第一版：
例14： (書例1．21) 10件同類型產(chǎn)品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取兩次，每次取一件，求“兩件均為正品”（事件A）的概率。
推廣：對n個事件 ，且 ,則有 。

例15： (書例1. 22) 一城市位于甲，乙兩河的匯合處，當兩河流至少有一泛濫時，該市就會被淹，已知在指定的時間內(nèi)，甲,乙兩河泛濫的概率均為0.01，又當甲河泛濫時引起乙河泛濫的概率為0.5。求在指定的時間內(nèi)該市被淹的概率。
例： 已知 ， ， ，且 ， 。求： ；  。
例16：十個人抓一張電影票，問每個人抓到電影票的概率與抽簽的次序是否有關？


條件概率 與 有如下的一般關系


(三)全概率公式

例17（第一版）：口袋中有16個球，其中白球10個，紅球6個。每次取一球，取后不放回，連取兩次。求下列事件的概率：
(1)“第一次,第二次取的都是白球”;
(2)“第二次才取到白球”;
(3)“第二次取到白球”.
思考：三個事件有什么不同？
第(3)個事件有何特點？難點在哪？怎么解決問題？

定理1.1（全概率公式）
若事件組 滿足：
(1) 互不相容且 , ,
(2) ;
則對任何事件A,均有
。 （1.19）
稱滿足(1)、(2)的事件組為完備事件組。(1.19)式稱為全概率公式。

重點在于:什么情況下用全概率公式，如何用全概率公式解決實際問題。關鍵是找出 且找出 發(fā)生的“ 種可能原因”或“可能的前提條件”或“情況”將其視為 。

例18(第一版)：（書例1．23） 市場出售的燈泡，甲廠占80%（其中合格率為95%），乙廠占20%（其中合格率為90%）。任買一燈泡，求它是合格品的概率。

例19(第一版)：甲、乙、丙三廠生產(chǎn)一批同類產(chǎn)品。甲廠產(chǎn)量是乙廠、丙廠產(chǎn)量之和，而乙廠產(chǎn)量是丙廠產(chǎn)量的二倍。又知甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的正品率分別為0.90,0.96,0.84。
(1) 求從該批產(chǎn)品中任取一件是正品的概率；
(2) 已知取得的一件是正品，問它是哪個廠產(chǎn)品的可能性最大（概率）？


(四) 貝葉斯公式
定理1.2 若 是一完備事件組，則對任意的事件 ，均有
。
此式稱為貝葉斯公式。

例6，7，P24頁。



例20(第一版)：（書例1．26） 某廠產(chǎn)品96%是（真）合格品。有一驗收方法，把（真）合格品判為“合格品”的概率為0.98，把非合格品判為“合格品”的概率為0.05。求此驗收方法判為“合格品”的一產(chǎn)品為（真）合格品的概率。

例21(第一版)：袋中有n個球，其中白球數(shù)未知，假設有i個白球的可能性對所有的i=0,1,…,n都相等?，F(xiàn)從袋中任取一球，求在取得的球是白球的條件下，袋中原來有i個白球的概率？(i=0,1,…,n)

§1.6 事件的獨立性.伯努利概型
一.事件的獨立性
1.兩個事件A,B的獨立性
定義1.3 對任意的事件A,B,若 ,則稱事件A,B是相互獨立的。
性質(zhì)1: 若A與B獨立,則 與B,A與 , 與 相互獨立。

2.推廣
定義1.4 對任意三個事件A,B,C，若

則稱事件A,B,C相互獨立，簡稱A,B,C獨立。

一般的，對任意n個事件 ，若
 ， ；
 ， ；
…………………
 。
則稱事件 相互獨立，簡稱 獨立。
性質(zhì)2：若 相互獨立，則
。






例22（第一版）：(書例1．27) 甲，乙，丙三人同時獨立向同一目標射擊，他們射中目標的概率分別為0.4,0.5,0.7。求
（1） 至少有一人射中目標的概率；
（2） 恰有一人射中目標的概率。
例23（第一版）： 袋中裝有編號為 的n個球，有放回地抽r次，求：
(1)1號球不被抽到的概率；
(2)1號球和2號球均被抽到的概率。

二．伯努利概型
1. 若試驗E只有兩個可能結(jié)果A和 ,且 , , 則稱E為伯努利概型。
稱A為“成功”, 為“失敗”。

2. n重伯努利試驗
將伯努利試驗E，在相同條件下，獨立地重復進行n次，作為一個試驗，則這個試驗為n重伯努利概型。記為En。
注意兩點：相同條件下，即每次
相同。
各次試驗結(jié)果是獨立的。

3. 定理1.3
設E為伯努利試驗，且
，則在n重伯努利概型中，事件A恰好發(fā)生 次的概率為： ， 。

例2---3P27—28.

第一章作業(yè)：
設計一隨機試驗E，給該試驗的樣本空間S，基本事件ω，并給出一至二個事件。

習題1,2,17,18,20,26



例24（第一版）：(書例1. 29) 某射手的命中率為0.9，他獨立重復向目標射擊5次，求恰好命中3次的概率。

例25（第一版）.(書例1. 30) 設一批同類型的產(chǎn)品有N件，其中次品有M件。今從中有放回抽取n件，求次品恰有m件的概率。

§ 1—5幾個例題（第一版）
例：（書例1.33）一袋中裝有N-1只黑球和1只白球，每次從袋中隨機地摸出一只球并放入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求第k次摸球時摸到黑球的概率。
例：（書例1.34）把7個編號的同類型的球扔進4個編號的盒子中，每個球被扔進任何一個盒子中都是等可能的。求第一個盒子恰有2個球的概率。
例：（書例1.37）甲，乙，丙三人同時獨立向一飛機射擊，他們設中飛機的概率分別為0.4,0.5,0.7。設若只有一人射中,飛機墜毀的概率為0.2；若恰有兩人射中,飛機墜毀的概率為0.6；若三人均射中，飛機必然墜毀。求飛機墜毀的概率。若已知飛機墜毀，求它是恰有二人射中的概率。

例：（例1.38）設某型號的高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率為0.6，現(xiàn)用此型號的炮若干門同時發(fā)射一發(fā)炮彈，問至少需配置幾門高射炮才能以不小于0.99的概率擊中來犯的一架敵機？

例：（例1.41）甲，乙二人進行棋類比賽。每次比賽沒有和棋，甲贏的概率為p，乙贏的概率為q，p+q=1 ,贏者得1分，輸者得0分。比賽獨立地進行到有一人超過對方2分才結(jié)束，多得二分者為勝。求甲，乙獲勝的概率各是多少。

例：（例1.42）甲，乙二人約定，將一枚勻稱的硬幣擲兩次，若正面至少出現(xiàn)一次，則甲勝；否則乙勝。求甲勝的概率。

概率論的基本概論