第七章 參數(shù)估計
7. 參數(shù)估計 參數(shù)估計就是要從樣本出發(fā)構(gòu)造一些統(tǒng)計量作為總體某些參數(shù)（或數(shù)字特征）的估計量 。 點估計就是構(gòu)造統(tǒng)計量。 [pic][pic] j=1,2,…n 以[pic]的值作為[pic]的近似值。對[pic]進(jìn)行估計，叫(點)估計量。若樣本值代入[pic] 稱為[pic]的估計值。 區(qū)間估計是根據(jù)樣本構(gòu)造出適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，它以一定的概率包含未知參數(shù)。 §7.1 點估計 （一）矩估計法 1.矩估計法的基本思想 在總體的各階矩存在的條件下，用樣本的各階矩去估計總體相應(yīng)的各階矩，又由于總體 的分布類型已知，總體的各階矩可表示為未知參數(shù)的已知函數(shù)，這樣樣本的各階矩就與 未知參數(shù)的已知函數(shù)聯(lián)系起來，從而得到參數(shù)的各階矩。 2.一般求法 ( [pic] [pic][pic]=1,2…k [pic] [pic] [pic]=1,2…k ( 令 [pic] [pic]=1,2…k (將[pic]代入(中，[pic] [pic]=1,2…k 例 2 P159總體X~U[a,b],參數(shù)a,b未知，求a,b的矩估計。 例 3 P160 以下為第一版例。 例7：總體X~U[0,b],參數(shù)b未知，求b的矩估計。 例8：總體[pic]，[pic]未知，已知[pic] 是來自總體X的樣本值，求[pic]的矩估計。 例9：總體的概率密度為 [pic] 參數(shù)[pic] [pic]均未知，[pic] 是來自總體的樣本，求[pic]的矩估計。 ３.總體的數(shù)學(xué)期望與方差的矩估計 已知總體的二階矩存在，[pic] 是來自總體的樣本值。E(X),D(X)的矩估計是 [pic] [pic] 注意： 此結(jié)論用于只要E(x)、D(x)存在的，不論分布是否已知的各類型總體的數(shù)字特征E(X)、 D(X)的矩估計。 例：總體X~B(N,p)， 參數(shù)N、00且[pic]未知，[pic] 是來自總體的樣本值，求參數(shù)的最大似然估計。 (2)當(dāng)似然函數(shù)L不可數(shù)時，或似然函數(shù)無解，要用定義求參數(shù)的最大似然估計。 例6：總體X~U[0,b]，參數(shù)b未知， 已知[pic] 是來自總體的樣本值，求b的最大似然估計。 3.未知參數(shù)的已知函數(shù)的最大似然估計有如下規(guī)定： 若[pic]，未知參數(shù)的已知函數(shù)為[pic]，[pic]分別為[pic]的最大似然估計，則規(guī)定g( [pic])為g([pic])的最大似然估計。 例：P[pic]習(xí)題7.5。 §7.2 估計量評選標(biāo)準(zhǔn) 1.無偏性： 定義：設(shè)[pic]([pic])是[pic]的估計量，若E([pic])=[pic]，對一切[pic]，則稱[pic] 為[pic]的無偏估計量，否則稱為[pic]的有偏估計量。其偏差度為[pic]= E([pic])－[pic]。如果[pic] E([pic])=[pic]，則稱[pic]為[pic]的漸近無偏估計量。 書上定義是對g([pic])而言的： 定義：設(shè)未知參數(shù)的已知函數(shù)g([pic])的估計量為[pic],如果對一切[pic]都有 [pic] 則稱[pic]為[pic]的無偏估計量。 例10：設(shè)總體有二階矩，E(X)=[pic],D(X)=[pic]存在，[pic]是該總體的樣本，證明[pic] 為[pic]的無偏估計，[pic]為[pic]的無偏估計，但[pic]不是[pic]的無偏估計，是[pic] 的漸近無偏估計。 例11：總體X~U[a,b]，b>0，試問b的矩估計[pic]是否是b的無偏估計量。 [pic] 注意: (1)若[pic]為[pic]的無偏估計，g([pic])為[pic]的已知函數(shù)，而g([pic])不一定是g( [pic])的無偏估計。 (2)有時[pic]的有偏估計也可稍加修改為無偏估計。 例：設(shè)[pic]，[pic]是[pic]的無偏估計，但[pic]不是 [pic]的無偏估計，可修改為[pic]它是[pic]的無偏估計。 ２.有效性 定義:若[pic]和[pic]都為[pic]的無偏估計量。若[pic]，[pic] 且至少對一個[pic]，有嚴(yán)格不等號成立，則稱[pic]比[pic]有效。 例12：比較[pic]，[pic],([pic])。估計[pic]，哪個有效。 定義：設(shè)[pic][pic]和[pic][pic]都是g([pic])的估計量， 如果對一切[pic]都有 　[pic][pic][pic]-g([pic])][pic][pic][pic][pic]- g([pic])][pic] 且存在[pic]，有嚴(yán)格不等號成立，則稱[pic]比[pic]有效。 此定義為均方誤差準(zhǔn)則。 ３.相合性（一致估計量） 定義7.5：設(shè)g([pic])的估計量為[pic]，如果對任意的[pic]>0,都有 [pic][pic]=1 則稱[pic]為[pic]的相合估計量。 §7.2 區(qū)間估計 一.基本概念 設(shè)[pic], [pic]是兩個統(tǒng)計量，且滿足[pic]，則稱[A,B]為一隨機(jī)區(qū)間。 定義7.6：對于給定的正數(shù)[pic]，如果對一切[pic]都有 [pic] 則稱[A,B]為[pic]的置信度為[pic]的置信區(qū)間，稱[pic]為置信區(qū)間的置信度，稱A、B 分別為置信下限和置信上限。 常用的形式： 　　　　 [pic] 例：某旅游社為調(diào)查當(dāng)?shù)孛恳宦糜握叩钠骄M額，隨機(jī)訪問了100名旅游者，得知平均 消費額[pic]（元）。根據(jù)經(jīng)驗，已知旅游者消費額服從正態(tài)分布[pic]，且標(biāo)準(zhǔn)差[pic] （元），那麼該地旅游者平均消費額[pic]的置信度為95%的置信區(qū)間是什麼。 設(shè)旅游者消費額為[pic]，且知[pic]，此題是求[pic][pic]的置信區(qū)間的問題。 （1）找[pic]的較好點估計（最大似然估計或無偏估計），[pic][pic]。 （2）為使[pic]，要選有關(guān)[pic]與[pic]的函數(shù)且知其分布。當(dāng)已知[pic]時， [pic]， 稱[pic]為樞軸變量。對給定的[pic]，使 [pic] （3）將不等式 [pic][pic]等價變形 [pic] 本例，計算 [pic] [pic] 得到，當(dāng)?shù)孛课宦糜握咧眯哦葹?5%的平均消費額在[77.6元，82.4元]之間。 Data; u=probit(1-0.05/2);put u=; A=80-(u*12)/sqrt(100); put A=; B=80+(u*12)/sqrt(100); put B=; run; u=1.9599639845 A=77.648043219 B=82.351956781 定義：[pic]叫區(qū)間半徑，[pic]叫區(qū)間中心， [pic]叫區(qū)間長度。 二.置信區(qū)間的一般求法 (樞軸量法) (1)從[pic]的一個較好點估計[pic]出發(fā)，構(gòu)造[pic]與[pic]的一個函數(shù)[pic] ，且知其分布又與[pic]無關(guān)，函數(shù)H稱為樞軸變量。 (2)記H的上[pic]分為數(shù)和上（1- [pic]）分位數(shù)為[pic]和[pic]，使對給定的[pic]，有 [pic] 利用不等式運算，將不等式 進(jìn)行等價變形，使得最后得到形如： [pic] 的不等式。 則[pic]就是[pic]的[pic]置信區(qū)間，這時有： [pic] 定義：[pic]叫區(qū)間半徑，[pic]或[pic]叫區(qū)間長度。 例1 P170，計算機(jī)實現(xiàn)過程。 Data; z=probit(1-0.05/2);put z=; A=5.2-(z*1)/sqrt(16); put A=; B=5.2+(z*1)/sqrt(16); put B=; C=B-A; put C=; run; z=1.9599639845 A=4.7100090039 B=5.6899909961 C=0.9799819923 P171頁下面部分的數(shù)值解釋。 Data; u1=probit(0.04);put u1=; u2=probit(1-0.01);put u2=; A=5.2+(u1*1)/sqrt(16); put A=; B=5.2+(u2*1)/sqrt(16); put B=; C=B-A; put C=; run; u1=-1.750686071 u2=2.326347874 A=4.7623284822 B=5.7815869685 C=1.0192584863 三.正態(tài)總體的參數(shù)的區(qū)間估計 1.一個正態(tài)總體的均值、方差的置信區(qū)間 設(shè)總體[pic]，[pic]是來自總體[pic]的樣本 (1)[pic]已知，均值[pic]的置信度為[pic]的置信區(qū)間為： [pic] (2)[pic]未知，均值[pic]的置信度為[pic]的置信區(qū)間為： [pic]。 (3)[pic]未知，方差[pic]的置信度為[pic]的置信區(qū)間為： [pic] [pic]的[pic]的置信區(qū)間為： [pic] 2. 兩個正態(tài)總體均值差方差比的置信區(qū)間 |總體 |樣本 |均值 |樣本方差 | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | 兩個樣本相互獨立。 (1)[pic]已知，均值差[pic]的置信區(qū)間為 [pic] (2)[pic]未知，但[pic]，[pic]的置信區(qū)間為 [[pic]] (3)[pic]未知，方差比[pic]的置信區(qū)間為： [[pic][pic]] (4) [pic]已知，[pic]的置信區(qū)間為： [[pic][pic]] 1. P174 Data; t=TINV((1-0.05/2),15); put t=; A=503.75-t*6.2022/sqrt(16); put A=; B=503.75+t*6.2022/sqrt(16); put B=; C=B-A; put C=; run; t=2.1314495456 A=500.44508091 B=507.05491909 C=6.6098381857 例2 P175 Data; k1=CINV(1-0.05/2, 15);put k1=; k2=CINV(0.05/2, 15);put k2=; A=sqrt(15)*6.2022/sqrt(k1); put A=; B= sqrt(15)*6.2022/sqrt(k2); put B=; C=B-A; put C=; run; k1=27.488392863 k2=6.262137795 A=4.5815952687 B=9.5990905015 C=5.0174952328 例 3 P177 Data; t=tINV(1-0.05/2, 28);put t=; sw=sqrt((9*1.1**2+19*1.2**2)/28); put sw=; A=500-496-sw*t*sqrt(1/10+1/20); put A=; B=500-496+sw*t*sqrt(1/10+1/20); put B=; C=B-A; put C=; run; t=2.0484071418 sw=1.1687905837 A=3.0727462146 B=4.9272537854 C=1.8545075707 例 4 P177 Data; t=tINV(1-0.05/2, 14);put t=; sw=sqrt((7*3.89+7*4.02)/14); put sw=; A=91.73-93.75-sw*t*sqrt(1/8+1/8); put A=; B=91.73-93.75+sw*t*sqrt(1/8+1/8); put B=; C=B-A; put C=; run; t=2.1447866879 sw=1.9887181801 A=-4.152688139 B=0.1126881394 C=4.2653762788 例 5 P179 data ; F1=FINV(1-0.1/2, 17,12) ; put F1=; F2=FINV(0.1/2, 17,12) ; put F2=; A=0.34/(0.29*F1); put A=; B=0.34/(0.29*F2); put B=; C=B-A; put C=; Run; F1=2.5828389059 F2=0.4200526125 A=0.4539244745 B=2.7911117756 C=2.3371873011 §7.5 (0---1)分布參數(shù)的區(qū)間估計 P179 例 P180 data; z=probit(1-0.05/2);put z=; a=100+z**2; put a=; b=-(2*100*0.6+z**2); put b=; c=100*0.6**2; put c=; p1=1/(2*a)*(-b-sqrt(b**2-4*a*c)); put p1=; p2=1/(2*a)*(-b+sqrt(b**2-4*a*c)); put p2=; p=p2-p1; put p=; run; z=1.9599639845 a=103.84145882 b=-123.8414588 c=36 p1=0.5020025868 p2=0.6905987136 p=0.1885961268 §7.6 單側(cè)置信區(qū)間 對于均值，單側(cè)置信區(qū)間下限。公式（6.4） 對于方差，單側(cè)置信區(qū)間上限。公式（6.6） 例 P182 Data; t=tINV(1-0.05, 4);put t=; mu=1160-sqrt(9950/5)*t; put mu=; run; t=2.1318467863 mu=1064.8995598 習(xí)題： 1，2，3，5，6，10，14，15，19，25 ----------------------- [pic]
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