第十四章 利率期權(quán)
第14章 利率期權(quán) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)要掌握利率期權(quán)的基本含義，利率期權(quán)市場的基本情況 ，主要的利率期權(quán)，包括利率期貨期權(quán)，場外市場期權(quán)，以及內(nèi)嵌在債務(wù)工具中期權(quán)。 還要掌握為利率期權(quán)定價(jià)的解析工具。期權(quán)調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。要理解利率期權(quán)定價(jià)的核心——布萊克模型。 第一節(jié) 利率期權(quán)市場 我們可以將利率期權(quán)分成三類：交易所交易的，場外市場交易的和內(nèi)嵌在金融工具里 的利率期權(quán)。 一、交易所交易的利率期權(quán) 交易所交易的利率期權(quán)主要是指利率期貨期權(quán)，此外還有一些債券期權(quán)，在第13章， 我們討論了期貨期權(quán)定價(jià)的一般情況，在這一章，我們將通過利率期貨期權(quán)更加深入地 討論這一問題。 主要利率期貨期權(quán)是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。 二、場外市場交易的利率期權(quán) 場外市場上的利率期權(quán)不像內(nèi)嵌在其他金融工具中的利率期權(quán)，它是單獨(dú)直接交易的 ，它也是利率期權(quán)發(fā)展和創(chuàng)新的根源。因?yàn)閳鐾饨灰资袌鰩缀跬耆撬较逻M(jìn)行的，所以 沒有關(guān)于市場規(guī)模和交易活動的完整、精確的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。不過，我們有可能確定其市場 規(guī)模的下限，因?yàn)槲覀兛梢岳糜袃蓚€數(shù)據(jù)來源，一個是國際互換和衍生工具協(xié)會（In ternational Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營業(yè)資產(chǎn)；還有一個是美國 貨幣審計(jì)辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報(bào)告。 在場外交易市場上，名義本金的概念是很關(guān)鍵的。名義本金可以通過與期貨和期貨期 權(quán)市場的類比來理解。舉個例子，一份歐元期貨合約（或一份歐元期貨期權(quán)合約）的本 金是$1,000,000，不過這一百萬美元并不是合約中實(shí)際的投資或風(fēng)險(xiǎn)暴露頭寸，這一百 萬美元類似于OTC上的名義本金。名義本金是用來計(jì)算利息額的本金數(shù)量，它既不是實(shí)際 的風(fēng)險(xiǎn)暴露，也不進(jìn)行實(shí)際的支付，只是計(jì)算利息流的基礎(chǔ)。 根據(jù)ISDA的報(bào)告，到1997年，場外市場上交易的利率期權(quán)的名義本金已超過5萬億美 元，在過去10年每年以接近35％的速度增長。ISDA的數(shù)據(jù)在一定程度上低估了場外市場 的發(fā)展，因?yàn)樗话?01個會員的數(shù)據(jù)，不過僅此數(shù)據(jù)就表明場外市場的發(fā)展遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過 了交易所市場的發(fā)展。 而貨幣控制辦公室（OCC）的報(bào)告顯示，475家商業(yè)銀行和信托公司在交易所和場外市 場上均有大量的衍生證券頭寸，它們的報(bào)告沒有將利率期權(quán)和其他衍生工具區(qū)分開來， 但可以斷言銀行的期權(quán)頭寸主要是利率期權(quán)頭寸。1997年，這些銀行持有的交易所期權(quán) 頭寸為1.363萬億美元，場外市場期權(quán)頭寸為4.598萬億美元，兩者都是用名義本金來衡 量的。貨幣控制辦公室（OCC）的報(bào)告還顯示，場外市場交易的期權(quán)和交易所交易的期權(quán) 的比例約為3比1。 這些數(shù)據(jù)和ISDA報(bào)告的數(shù)據(jù)不是獨(dú)立的，每份期權(quán)合約都有買方和賣方，因此可能銀 行的一些期權(quán)頭寸在ISDA的調(diào)查中已經(jīng)包括了，而且一些銀行的衍生證券部也是ISDA的 會員，這些銀行的期權(quán)頭寸就可能被計(jì)算兩次，這說明統(tǒng)計(jì)場外市場交易的利率期權(quán)是 很困難的。不過，至少有一點(diǎn)是清楚的，利率期權(quán)的市場規(guī)模巨大，名義本金的頭寸以 萬億計(jì)。 三、內(nèi)嵌的利率期權(quán) 除了在交易所和場外市場直接交易的利率期權(quán)，有大量的利率期權(quán)是內(nèi)嵌在其他證券 之中的。這些利率期權(quán)一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債務(wù)中。 在美國，長期公司債券一般是息票債券，而且是可贖回的。贖回條款允許發(fā)行公司在 特定的時(shí)間以特定的價(jià)格從投資者手中買回債券，即發(fā)行公司擁有一個內(nèi)嵌在債券合約 中的期權(quán)。這個贖回條款在本質(zhì)上是一個利率期權(quán)，因?yàn)橼H回條款的價(jià)值依賴于債券的 價(jià)值，而債券的價(jià)值依賴于利率。幾年前發(fā)行的美國國庫券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒有 了。廣泛存在的贖回條款說明內(nèi)嵌的利率期權(quán)大量存在，這些內(nèi)嵌的利率期權(quán)對債券的 市場價(jià)值有顯著影響，我們將看到，債券的期權(quán)特征會影響債券價(jià)格對利率變動的反應(yīng) 方式。 另外一類主要的內(nèi)嵌的利率期權(quán)存在于抵押的不動產(chǎn)之中。幾乎所有的不動產(chǎn)抵押都 含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負(fù)債，這個提前償還條款是貸 款人提供給借款人的。不動產(chǎn)抵押貸款的余額以萬億美元計(jì)，多數(shù)抵押貸款會在到期前 提前償還，這意味著提前償還期權(quán)一般會被執(zhí)行。 在美國，住房抵押貸款一般是抵押銀行用來形成抵押擔(dān)保證券的基礎(chǔ)。在本質(zhì)上，抵 押擔(dān)保證券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一個組合或不動產(chǎn)抵押池。MBS的投資者投資于由抵押貸款構(gòu)成的組合，并按事 先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(Gov ernment National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會( Federal National Mortgage Association, FNMA )會提供違約風(fēng)險(xiǎn)的擔(dān)保。因此MBS的收益率在考慮提前償還的期權(quán)后略高于國庫券的收 益率。 在組成MBS的抵押貸款中，每期都有一些被提前償還。提前償還住房抵押貸款的原因 主要有兩個：首先是一些人賣掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS的 投資者角度看，第二個原因更重要。 再融資一般會在現(xiàn)在的市場利率大大低于抵押貸款的合同利率的時(shí)候發(fā)生。當(dāng)MBS中 的抵押貸款出現(xiàn)提前償還的時(shí)候，MBS的投資者收到提前償還款項(xiàng)的一部分。從MBS投資 者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因?yàn)檫@主要出現(xiàn)在利率很低的時(shí)候，MBS的投資者 將面臨以一個更低的利率投資。 提前償還的定價(jià)是復(fù)雜的，因?yàn)樘崆皟斶€不但依賴于利率的變動，還依賴于人口統(tǒng)計(jì) 學(xué)。一些抵押貸款的提前償還率更高，是因?yàn)榻杩钊烁鼉A向于賣掉房子，這些人的流動 性和跳槽比例都比較高。因此住房抵押貸款中內(nèi)嵌的提前償還期權(quán)很復(fù)雜，而且對理解 MBS的定價(jià)非常重要。MBS專家要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，考慮提前償還。 除了住房抵押貸款，另外一類MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通過將抵押貸款的現(xiàn)金流分解后從新打包以滿足不同投資者的需求。這個打 包稱為部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它們被出售給不同的投資者。此外，抵押貸款也可 以剝離成利息和本金量部分，在一個典型的抵押貸款中，每個月的償還額中的一部分是 償還當(dāng)月的利息，剩下的部分是償還本金。一個利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。 對于可贖回的債券和抵押貸款而言，理解它的價(jià)值和投資特征依賴于理解其中內(nèi)嵌的 期權(quán)帶來的影響。一般將含有內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具價(jià)格分解成兩部分，主體價(jià)值和期權(quán) 價(jià)值，主體價(jià)值是不含期權(quán)的同類工具的價(jià)值。 含內(nèi)嵌期權(quán)的金融工具的價(jià)值＝主體價(jià)值±期權(quán)價(jià)值 內(nèi)嵌期權(quán)既可能增加主體的價(jià)值，也有可能降低主體的價(jià)值。舉個例子，可贖回債券 中的贖回條款是發(fā)行者擁有的一個看漲期權(quán)，從投資的角度看，它降低了債券的價(jià)值。 可在抵押貸款中，借款人擁有一個提前償還的期權(quán)。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權(quán)中，借款 人擁有期權(quán)，因此期權(quán)降低了資產(chǎn)的價(jià)值，提高了資產(chǎn)的收益率。 第二節(jié) 利率期權(quán)的定價(jià) 一、經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價(jià)差 現(xiàn)在我們開始討論利率期權(quán)的定價(jià)，利率期權(quán)定價(jià)的關(guān)鍵是利率期限結(jié)構(gòu)。在討論定 價(jià)模型之前，我們還需要了解經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的價(jià)差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考慮了期權(quán)以后，以上內(nèi)嵌了期權(quán)的金融工具和國債收益 率的差值。 為了計(jì)算某個金融工具的OAS，首先利用政府長期零息票收益率曲線進(jìn)行估值，并將 該值輸入到新的定價(jià)模型中去。將模型給出的該金融工具的價(jià)格與它在市場中的價(jià)格進(jìn) 行比較。運(yùn)用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國債收益率曲線的平行漂移量 ，該量將使得模型的價(jià)格等于市場的價(jià)格。這個平行漂移量就是OAS。 舉個例子，假設(shè)市場價(jià)格是＄102.00，利用國債收益曲線計(jì)算出的價(jià)格為＄103.27。 作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國債零息票曲線的平行漂移量為60個點(diǎn)。假 設(shè)這個漂移量給出該金融工具價(jià)格為＄101.20。這低于＄102.00的價(jià)格，意味著在0和6 0點(diǎn)之間的某個平行漂移量將使得模型所計(jì)算的價(jià)格等于市場價(jià)格。自然我們利用線性插 值計(jì)算得： [pic] 即36.81點(diǎn)，將它作為下一次試算的漂移量。假設(shè)這個漂移量給出的價(jià)格為＄101.95 。這說明OAS比36.81點(diǎn)要稍微小一些。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： [pic] 即35.41點(diǎn)；如此等等。 二、布萊克（Black）模型與利率期權(quán)的定價(jià) 自從1973年布萊克－舒爾斯（Black- Scholes）期權(quán)公式首次公布以來，該公式已成為非常流行的工具。正如在第十三章所述 ，該模型經(jīng)過擴(kuò)展之后，可為貨幣期權(quán)、指數(shù)期權(quán)以及期貨期權(quán)估值。交易員已經(jīng)非常 習(xí)慣于支撐該模型的對數(shù)正態(tài)分布假設(shè)和用來描述不確定性的波動率測度。為了將該模 型運(yùn)用于利率衍生證券的定價(jià)，人們做了各種擴(kuò)展。 在利率衍生證券領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的布萊克－舒爾斯擴(kuò)展模型是發(fā)表于1976年的Black 模型，起初開發(fā)該模型是為了給商品期貨期權(quán)進(jìn)行估值。該模型擴(kuò)展后為范圍廣泛的歐 式期權(quán)估值提供了一個靈活的框架。我們還將給出一些例子說明Black模型如何應(yīng)用于利 率期權(quán)的定價(jià)。 （一）運(yùn)用Black模型為歐式期權(quán)定價(jià) 考慮一個基于變量V的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)利率是非隨機(jī)變量并定義： [pic]：期權(quán)到期日 [pic]：在期限為T的合約中的V的未來價(jià)格 [pic]：期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格 [pic]：期限為T的零息票收益 [pic]：[pic]的波動率 [pic]：在時(shí)刻T時(shí)V的價(jià)值 [pic]：在時(shí)刻T時(shí)F的價(jià)值 在時(shí)刻T，期權(quán)的盈利狀態(tài)是[pic]，由于[pic]，因此我們可認(rèn)為在T時(shí)刻的期權(quán)盈利 狀態(tài)為[pic]，Black模型給出0時(shí)刻歐式看漲期權(quán)的價(jià)值c為： [pic] （14.1） 其中 [pic] [pic] 相應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值p為： [pic] （14.2） （二）Black模型的擴(kuò)展 Black模型假設(shè)F的波動率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個假設(shè)。由于我們是為歐式期 權(quán)進(jìn)行估值，我們并不關(guān)心時(shí)刻T之前的V值或F值。我們僅只是要求在T時(shí)刻V服從對數(shù)正 態(tài)分布。由于F是[pic]在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，我們能夠利用風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法推 導(dǎo)出方程式（14.1）和（14.2）的充分條件如下： 1．[pic]的概率分布是對數(shù)正態(tài)分布； 2．ln[pic]的標(biāo)準(zhǔn)偏差是[pic]； 3．利率是非隨機(jī)變量。 當(dāng)利率是非隨機(jī)變量時(shí)，期貨價(jià)格和遠(yuǎn)期價(jià)格是相同的。因此，對T時(shí)刻到期的某個 合約而言，變量F可定義為V的遠(yuǎn)期價(jià)格。 總之，只要假設(shè)利率是非隨機(jī)變量，期權(quán)到期時(shí)標(biāo)的變量服從對數(shù)正態(tài)分布，任何時(shí) 候我們都可以利用方程式（14.1）和（14.2）為歐式期權(quán)估值。在方程式中的變量F可定 義為T時(shí)刻到期的某個合約中的標(biāo)的變量的遠(yuǎn)期價(jià)格。 由于我們并沒有假設(shè)V和F的變化遵循幾何布朗運(yùn)動，那么定義變量[pic]為波動率并 不嚴(yán)格?，F(xiàn)實(shí)中，它不過是一個具有如下特性的變量，即[pic]是[pic]的標(biāo)準(zhǔn)偏差。為 了強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，我們定義[pic]為T時(shí)刻V的波動率測度（Volatility Measure）。 進(jìn)一步擴(kuò)展Black模型，我們可允許給出盈利的時(shí)刻不是T時(shí)刻，例如假設(shè)從T時(shí)刻的 變量V的值計(jì)算出期權(quán)的盈利，但是該盈利延遲到[pic]時(shí)刻，其中[pic]。在這種情況下 ，有必要從時(shí)刻[pic]而不是從時(shí)刻T貼現(xiàn)該盈利。我們定義[pic]為到期日為[pic]的零 息票收益率，于是方程式（14.1）和（14.2）變?yōu)椋?[pic] （14.3） [pic] （14.4） 其中 [pic] [pic] （三）適用的利率 人們廣泛使用（14.1）到（14.4）為利率期權(quán)估值。變量V可以是利率、債券價(jià)格、 或兩個利率之間的價(jià)差。變量F等于V的遠(yuǎn)期價(jià)格。用于貼現(xiàn)的變量[pic]和[pic]是從計(jì) 算出來的零息票收益率。 當(dāng)Black模型按這種方式運(yùn)用時(shí)，出現(xiàn)了兩種近似情況： 1．假設(shè)V的遠(yuǎn)期價(jià)格等于它的期貨價(jià)格，因此等于[pic]在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值 ，但是，當(dāng)利率是隨機(jī)變量時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格并不相等。 2．即使計(jì)算期權(quán)盈利時(shí)刻這些利率假設(shè)為隨機(jī)變量，也假設(shè)用來貼現(xiàn)的這些利率為 常數(shù)。 如果這些情況發(fā)生了的話，這兩個近似具有相互抵消的效應(yīng)。因此，在為歐式利率期 權(quán)估值時(shí)，Black模型比所期望的具有更強(qiáng)的理論基礎(chǔ)。 （四...
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