華宏2003年mba聯(lián)考輔導資料(c)
下篇 2. 設“是4(5矩陣, α1 ,α2 ,α3,α4,α5是“的列向量組，r(α1 ,α2 ,α3,α4,α5)=3，則( )正確。 (A) “的任何3個行向量都線性無關； (B) α1 ,α2 ,α3,α4,α5的含有3個向量的線性無關部分組一定是它的極大無關組； (C) “的最下面的行向量是零向量。 (D) α1 ,α2 ,α3,α4,α5的線性相關的部分組一定含有多于3個向量． 3. 設n維向量組α1,α2 ,…,αs的秩等于3，則 (A) α1,α2 ,…,αs中的任何4個向量相關, 任何3個向量無關. (B) 存在含有兩個向量的無關的部分組. (C) 相關的部分組包含向量的個數(shù)多于3. (D) 如果sr(β1, β2,(, βs),則A不可逆. 6. 設 α1,α2,α3,α4 線性無關,則( )線性無關. (A) α1+α2，α2+α3，α3+α4,α4+α1. (B) α1+α2，α2+α3， α3+α4,α3-α4 (C) α1-α2，α2-α3，α3-α4,α4-α1. (D) α1+α2，α2+α3，α3-α4,α4-α1.． 7. 設 α1,α2,α3線性無關, β1’(m- 1)α1+3α2+α3, β2’α1+(m+1)α2+α3, β3’-α1-(m+1)α2+(1- m)α3,其中m為實數(shù),討論m與r(β1, β2, β3)的關系. 8. 7.設n維向量組α1,α2,(,αs線性相關, 但是α2,(,αs線性無關，其中α1不是零向量.又設數(shù) κ1,κ2,(,κs 不全為0，使得 κ1α1+ κ2α2+(+ κsαs=0 ，則一定有( ). (A) κ1 (0,κ2,(,κs全為0； (B) κ1 (0,κ2,(,κs不全為0 ； (C) κ1 ’0，κ2,(,κs不全為0； (D) s=n. 9. 設n維向量組α1,α2, α3,α4, β的秩為4，則( )正確. (A) n=4. (B)β可用α1,α2,α3,α4線性表示. (C) r(α1,α2,α3,α4)(3. (D) α1,α2,α3,α4線性無關. 10. 設α1=(1+λ，1，1)，α2=(1，1+λ，1)，α3=(1，1，1+λ)，β=(0，λ,λ2)． ① λ為何值時，β可用α1，α2，α3線性表示，并且表示方式唯一？ ②λ為何值時，β可用α1，α2，α3線性表示，并且表示方式不唯一？ ③ λ為何值時，β不可用α1，α2，α3線性表示？ 11.設α1=(1+a,1,1)，α2=(1,1+b,1)，α3=(1,1,1- b)，問a,b滿足什么條件時r(α1,α2,α3)=2? 12.當a取何值時向量組 α1=(3，1，2，12)，α2=(-1，a，1，1)，α3=(1,- 1，0，2)線性相關？ 13． 1 4 4 2 已知矩陣“= 0 3 a 3 的秩為3,求a,并找出它的行向量組的一個極大無關組. -1 a 3 -5 1 4 4 5-a 14．如果α1,α2,α3線性無關,而3α1-α2+α3, 2α1+α2-α3, α1+tα2+2α3線性相關,則t= . 15． a b -3 b-1 a 1 3階矩陣A= 2 0 2 ，B= -1 1 0 ，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和 3 2 -1 0 2 1 r(AB) . 16. 設 α1=(1,0,1,1),α2=(2,-1,0,1),α3=(-1,2,2,0), β1=(0,1,0,1),β2 =(1,1,1,1),問: c1,c2滿足什么條件時c1β1+c2β2可以用 α1 , α2 ,…,α r線性表示?(2c1+c2=0) 17.設 α1,α2,α3,α4 線性相關， α2,α3,α4,α5線性無關．哪個向量可用其它向量線性表示？哪 個向量不能用其它向量線性表示？ 18．設α1 , α2 ,…,α t 是“X =0的一個基礎解系，β不是 “X ’0的解．證明β ,β+α1，β+α2，…，β+ αt線性無關． 19．設α1 , α2 ,…,α r 和β1 , β2 ,…,β s 是兩個線性無關的n維向量組．證明：向量組{α1 , α2 ,…,α r ；β1 , β2 ,…,β s }線性相關的充分必要條件為存在n維非零向量γ，它既可用α1 , α2 ,…,α r 表示，又可用β1 , β2 ,…,β s表示． 20．① 設 α1,α2,α3是線性無關的4維向量組，β1,β2 也都是4維向量,證明:存在不全為0的c1,c2,使得c1β1+c2β2可以用α1,α2,α3線性表示. ② 設 4維向量組α1 , α2 ,…,α r的秩=3，β1,β2 也都是4維向量,證明存在不全為0的c1,c2,使得c1β1+c2β2可以用 α1,α2,…,α r線性表示. 21. 設α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 都是n維向量組,已知β1 =α1 , βi -αi可以用α1 , α2 ,…,αi-1線性表示(當i>1時).證明r(α1,α2,…,αs)= r(β1,β2,…,βs). 參考答案 1．(C). 2. (B). 3. (B). 4. ⑴, ⑶ ,⑷, ⑸ . 5.(D) . 6. (B). 7. m’2和m2’2時r(β1, β2, β3)=2,否則 r(β1, β2, β3)=3. 8. (B). 9. (C). 10. ⑴ λ不為0和-2.⑵ λ=0.⑶ λ=-2. 11. a=-1，或a=不為0，b=0. 12. a=3。 13．A=-7第1，2 4個行向量構成行向量組的一個極大無關組. 14． t=-2. 15． a=1,b=2, r(AB) ’1. 16.2c1+c2=0. 17. α1可用其它向量線性表示,α4不能用其它向量線性表示. 第五章 線性方程組 1. 線性方程組的形式 線性方程組除了通常的寫法外,還常用兩種簡化形式： 矩陣式 AX=β，(齊次方程組AX=0). 向量式 x1α1+ x2α2+( ,+xsαs= β， (齊次方程組x1α1+ x2α2+( ,+xsαs=0). 2. 線性方程組解的性質(zhì) (1) 齊次方程組AX=0 如果η1, η2,( ,ηs是齊次方程組AX=0的一組解,則它們的任何線性組合c1η1+ c2η2+( + csηs也都是解. (2) 非齊次方程組AX=β((0) 如果ξ1, ξ2,( ,ξs是AX=β的一組解,則 ① 它們的線性組合c1ξ1+ c2ξ2+( +csξs也是AX=β解的(c1+ c2+( +cs=1. ② 它們的線性組合c1ξ1+ c2ξ2+( +csξs是AX=0的解( c1+ c2+( +cs=0. 如果ξ0是AX=β的一組解,則n維向量(n是未知數(shù)的個數(shù)) ξ也是解(ξ-ξ0是導出齊次方程 組AX=0的解.( ξ是ξ0和AX=0的一個解的和.) 3. 線性方程組解的情況的判別 對于方程組AX=β,判別其解的情況用三個數(shù):未知數(shù)個數(shù)n,r(A),r(A|β). ① 無解(r(A )
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