概率與概率的加法公式1-2
§2 隨機(jī)事件的概率，古典概型與概率的加法公式 2000/7/31 1. 概率的統(tǒng)計(jì)定義： １．頻率： 隨機(jī)事件在一次具體的試驗(yàn)是否發(fā)生，雖然不能預(yù)先知道，但是，當(dāng)大量重復(fù)同 一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)現(xiàn)象卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律, 即所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．　如：歷史上有人作過成千上萬次投擲硬幣，下表列出他們的 試驗(yàn)記錄： ２．隨機(jī)事件 1。隨機(jī)事件及其概率 2。古典概型 容易看出，投擲次數(shù)越多正面向上的頻率越接近０．５，其中 　　　　　　　　　　　　　　　事件Ａ發(fā)生的次數(shù)　　　　　頻數(shù) 　　　　　事件Ａ發(fā)生的頻率＝　　　　　　　　　?。?　　　　　　　　　　　　　　　　　試驗(yàn)總次數(shù)　　　　　試驗(yàn)總次數(shù)　　?。?我們將事件發(fā)生的可能性大小只停留在定性了解不夠的，下面給出事件發(fā)生的可能性大 小的客觀的定量的描述，稱為事件發(fā)生的概率． ２．隨機(jī)事件的概率： 1. 定義：在不變的一組條件Ｓ下，重復(fù)作[pic]次試驗(yàn)，記[pic]是[pic]次試驗(yàn)中事 件[pic]發(fā)生的次數(shù)．當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)[pic]很大時(shí)，如果頻率[pic]穩(wěn)定在某一數(shù) 值[pic]的附近擺動(dòng)，而且一來隨著試驗(yàn)次數(shù)增多，這種擺動(dòng)的幅度越變?cè)叫。?則稱數(shù)值[pic]為事件[pic]在條件Ｓ下發(fā)生的概率，記作 　　　　　　　　　　　　　　[pic] 這里，頻率的穩(wěn)定性是概率一個(gè)直觀樸素的描述，通常稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義．但必 須指出，事件的頻率是帶有隨機(jī)性的，這是由事件本身的隨機(jī)性所決定。而事件的概率 ，卻是一個(gè)客觀存在的實(shí)數(shù)，是不變的。 二．　古典概型： １．定義：　如果隨機(jī)現(xiàn)象滿足下列三個(gè)條件： 1) 一次試驗(yàn)可能結(jié)果只有有限個(gè)，即所有基本事件只有有限個(gè)： [pic] ， 2) 每一個(gè)基本事件[pic]發(fā)生的可能性是相等的． 3) 基本事件[pic]是兩兩互不相容 滿足以上三個(gè)條件的隨機(jī)現(xiàn)象模型，稱為古典概型． 在古典概型中，如果n為基本事件總數(shù)， m為事件A包含的基本事件數(shù), 那么事件A的概率 [pic] 法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作為概率的一般定義．現(xiàn)在通常稱它 為概率的古典概型的定義，因?yàn)樗贿m用于古典概型場(chǎng)合． 1. 古典概型公式的運(yùn)用舉例： 【例1】 袋里有2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋任取出一球，求它是白球的概率． 解 ： 容易看出，“從袋里任取一球”這一試驗(yàn)是古典概型的，且 基本事件總數(shù)n＝5，取到白球的基本事件數(shù)m＝2，故 [pic] 把白球換為合格產(chǎn)品，黑球換為廢品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)問題． 這種模型化的方法把表面上不同的問題歸類于相同的模型之小中，能使問題更消楚，更 易于計(jì)算。 【例2】把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I,　Ⅱ,?、?的三只盒子里，求盒子I中沒有球的概率。 解：這是一個(gè)古典概型問題， 把a(bǔ), b兩個(gè)球隨機(jī)地放到編號(hào)為I,　Ⅱ,?、?的三只盒子里，基本事件總數(shù) 　　　　　　　　　[pic]　　　 設(shè)Ａ＝“盒子I中沒有球”，則事件A包含的基本事件數(shù) 　　　　　　　　　　[pic] ∴ [pic] 【例3】有一個(gè)口袋，內(nèi)裝a只白球，b只黑球，它們除顏色不同外，外形完全一樣, 從袋了中任不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)任意模出2個(gè)球時(shí)，求： （１）模出2個(gè)球都是白球的概率； （２）模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率 解:　　　這口袋共有a+b只球，從袋了中任意模出2個(gè)球的基本事件總數(shù) [pic]　， 1. 模出2個(gè)球都是白球基本事件數(shù)　[pic]，　 　∴　　模出2個(gè)球都是白球的概率　[pic]； 2. 模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的基本事件數(shù)　[pic]， 　∴　　模出一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率　[pic]　?。?若把黑球作為廢品，白球作為好品，則這個(gè)摸球模型就可以描述產(chǎn)品抽樣．按如產(chǎn)品 分為更多等級(jí)，例如：一等品，二等品，二等品，等外品等等．則可用裝有多種顏色 的球的口袋的摸球模型來描述． 【例3】 列 [pic] [pic] 【例4】 [pic] 1．無放回抽樣： [pic] [pic] 2．有放回抽樣： [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]，　[pic] 　　　　　　　　　　　[pic] 【例5】 有一個(gè)口袋內(nèi)裝可分辨4個(gè)黑球，6個(gè)白球, 它們除顏色不同外，外形完全一樣. 現(xiàn)按兩種取法； （Ⅰ）無放回； （Ⅱ）有放回 連續(xù)從袋中取出３個(gè)球，分別求下面事件的概率： 1. 　[pic]“取出３個(gè)球都是白的”； 2. 　[pic]“取出２個(gè)黑球，１個(gè)白球”． 解：（Ⅰ）無放回：連續(xù)從袋中取出３個(gè)球的基本事件總數(shù) [pic]， 　　　　　　　　（１）取出３個(gè)球都是白的基本事件數(shù)　　[pic]， 　　　　　　　　　　∴　　 [pic]??； （２）取出２個(gè)黑球，１個(gè)白球，注意到取出黑球的次序， ∴　事件[pic]的基本事件數(shù)　[pic]， 因而　[pic] 　　　　　 （Ⅱ）有放回：　連續(xù)從袋中取出３個(gè)球的基本事件總數(shù) 　　　　　　　　　　　　　[pic]， 1. 取出３個(gè)球都是白的基本事件數(shù)　[pic]， ∴　　 [pic]； 2. 取出２個(gè)黑球，１個(gè)白球，注意到黑球黑球的次序， ∴　事件[pic]的基本事件數(shù)　[pic]， 因而　[pic] 【例６】設(shè)有k個(gè)球，每個(gè)球都能以同樣的概率落到N個(gè)格子(N[pic]k)的每—個(gè)格子中， 試求：下列事件的概率 (1) 　A=”某指定的k個(gè)格子中各有一個(gè)球”； 1) 　B=”任何k個(gè)格子中各有一個(gè)球”； (3) C=“k個(gè)球落到同一個(gè)格子中”. 解: 這是一個(gè)古典概型問題，由于每個(gè)球可落入N個(gè)格子中的任一個(gè)，所以n個(gè)球在N個(gè) 格子基本事件總數(shù) [pic] (1) k個(gè)球在那指定的k個(gè)格子中全排列，總數(shù)為n!，因而所求概率 （2）n個(gè)格子可以任意，即可以從N個(gè)格子中任意選出n個(gè)來，這種選法共有 [pic] 又對(duì)于每種選定的n個(gè)格子，共有n! 排列，因而所求概率 [pic] 【例】 [pic] 【例】 [pic] 三。概率的性質(zhì)： １．　　　[pic] ２．　　　[pic] ３．　　　[pic] 四．概率加法公式： 1. 概率加法公式： 1. 如果事件A， B是互不相容，則 P（A+B）=P（A）+P（B）， 特別地，[pic]； [pic] 2. [pic] [pic] [pic]． 特別地，（1）如果A與B是兩個(gè)互斤事件，則 [pic]， （2） [pic] (3) 若 B [pic] A ，則 P（AB）[pic]P（A）[pic]P（B） ． 2． 逆事件概率： 【例7】在浴池的鞋柜中亂放著10雙號(hào)碼不同的托鞋．今隨意取來三只，求有一雙配對(duì)的 概率． 解法I： 設(shè)10雙鞋的號(hào)碼為t號(hào)至10號(hào)鞋．我們有下列事件等式， “三只鞋中有一雙配對(duì)”＝“三只中1號(hào)鞋配對(duì)” +“三只中2號(hào)鞋配對(duì)” + … +“三支中10號(hào)鞋配對(duì)”． 相應(yīng)地可設(shè)事件為 [pic] 把1號(hào)鞋看成廢品，其他鞋看成合格品，由超幾何 分布的概率公式，有 　　　　　　　　　　[pic]　　 解法1的特點(diǎn)是把較復(fù)雜的事件分解成較簡(jiǎn)單的事件和． [pic] 【例8】 [pic] [pic] [pic] 【例9】一個(gè)著名問題——匹配問題： ４張卡門分別標(biāo)著1，2，3，4，面朝下放在桌子上． 一個(gè)自稱有透視能力的人將用他超感覺能力說出卡片上的號(hào)數(shù)，如果他是冒充者而 只是隨機(jī)地猜一下，他至少猜中—個(gè)的概率是多少？ 對(duì)于這個(gè)小數(shù)日(n＝4)的具體問題，可以通過把“至少猜中一個(gè)”進(jìn)行分析而獲得解 答．這里僅給出分析結(jié)果： [pic] 【例10】 【例】[pic] [pic] [pic] 解； （?。? [pic] ，[pic] [pic] 七．習(xí)題： 1．. [pic] [pic] 2．P．16 ----- 1，4，5，6，7
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