輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)（3）
輕松學(xué)統(tǒng)計(jì)（3） 作者：張忠樸 [pic] 1.學(xué)以致用 　　第三次上課的進(jìn)度是『統(tǒng)計(jì)的推定』，以前作菜鳥老師時(shí)，一上課一定 先正經(jīng)八百的在黑板上先寫下這五個(gè)字，這是什么東東？學(xué)生暗自滴咕，這 一滴咕教室的氣氛馬上涼了一半，等到學(xué)生們的學(xué)習(xí)熱情被澆熄之后，才再 來冷灶熱燒，那就累了。 　　教書教久了，才體會(huì)到一上課最好先把場(chǎng)子炒熱，這樣教到主題才會(huì)事 半功倍，所以先丟個(gè)可以暖場(chǎng)的問題給他們。 『你們知不知道在美國統(tǒng)計(jì)專家密度最高的城市是那一個(gè)？』 ???!!!大家既有興趣卻又茫然。 『猜猜看嘛！』試著再鼓勵(lì)他們 『老師，可不可以給一點(diǎn)提示？』又開始討價(jià)還價(jià)了。 『好，那個(gè)城市在沙漠之中，雖然不大但國際馳名』 『是不是拉斯維加斯？』馬上有人興奮搶答。 『答對(duì)了，但是為什么那個(gè)鳥不生蛋的地方會(huì)吸引一票統(tǒng)計(jì)專家呢？』 『是不是和賭有關(guān)？』 『對(duì)！但是賭和統(tǒng)計(jì)有什么關(guān)系呢？』 『如果能設(shè)計(jì)一種游戲讓大家都認(rèn)為自己很容易贏，那就會(huì)吸引一票傻蛋。 』 『沒錯(cuò)，那些在賭城的統(tǒng)計(jì)專家，其實(shí)就是專門幫賭場(chǎng)設(shè)計(jì)那些表面看起來 吸引力十足，但事實(shí)上莊家最后必贏的游戲，由此可見統(tǒng)計(jì)并不只是艱深的 理論，它更可以應(yīng)用在生活之中，所以今天就讓我們來想一想如何將統(tǒng)計(jì)用 在工廠之中好嗎？』 『好！』大家都顯得興奮莫名，這十足表現(xiàn)了中國人見賭心喜的本性。 『那你們認(rèn)為在工廠中會(huì)賭那些事呢？』 『賭“席芭啦”！』這個(gè)回答馬上引起全班哄堂大笑。 『賭“席芭啦”，你瘋啦！工廠不但不感激你還會(huì)開除你，如果你不想被開除 那么還是趁早賭點(diǎn)正經(jīng)的?！?再逼著剛才那位搗蛋鬼把聰明用上正途，他把手上的原子筆當(dāng)作竹蜻蜒轉(zhuǎn)了 兩圈之后，若有所悟── 『在生管單位決定發(fā)料數(shù)量時(shí)，他們是不是會(huì)先賭一下這批產(chǎn)品的良品率？ 』 『沒錯(cuò)，這是正經(jīng)賭法之一，但是統(tǒng)計(jì)還有沒有其它的用途呢？』同學(xué)又陷 入了沈思，沉思后有人靈光一閃── 『老師，會(huì)不會(huì)有的公司要賭一下產(chǎn)品出廠后的平均使用壽命，以免將來客 戶抱怨連連？』 『太棒了，這件事不但要賭，而且還要算的非常精確，不然很可能就會(huì)大禍 臨頭，歸納剛才兩位同學(xué)的想法，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn)，那就是他們都 在想一個(gè)如何用統(tǒng)計(jì)來作預(yù)測(cè)的問題，這種用統(tǒng)計(jì)來作預(yù)測(cè)的問題，術(shù)語就 叫做“推定”(Estimation)』。 2.未卜先知 　　『在統(tǒng)計(jì)應(yīng)用上，推定占了一席非常重要的地位，尤其像在訂貨生產(chǎn)的 公司，如果生管無法推定出報(bào)廢率來作發(fā)料寬放的依據(jù)，那么不是會(huì)造成無 效良品的麻煩，就是會(huì)搞出數(shù)量不足延誤出貨的飛機(jī)，前者會(huì)造成資金的浪 費(fèi)，后者會(huì)引起客戶的抱怨，都很糟糕的事，為了不要將來倒霉，所以讓我 們現(xiàn)在就來學(xué)推定好不好？』 『好！』學(xué)生的眼睛慢慢亮了起來，但是我卻反而不想馬上讓他們?nèi)缭敢詢?，因?yàn)镋asy Coming， Easy Go本來就是教學(xué)大忌。所以決定先拿一個(gè)問題來釣他們── 『請(qǐng)問推定和憑空瞎猜有什么不同？』 『憑空瞎猜可以毫無根據(jù)，但是推定可能需要嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)』 『請(qǐng)問您說嚴(yán)謹(jǐn)是什么意思？』 『就是說推定的值要先有一些根據(jù)』 『你的意思是不是說，被推定的未知狀況必須要先根據(jù)一些看得見的己知結(jié) 果而來？』 『對(duì)！我就是這種想法』 『好極了，剛才這位同學(xué)的想法其實(shí)就是推定的起點(diǎn)，任何推定都必須先根 據(jù)一些樣本的數(shù)據(jù)來作推衍的基礎(chǔ)，我們不妨先來看一個(gè)例子』 |某公司希望能預(yù)測(cè)其產(chǎn)品厚度之范圍，試問應(yīng)如何下手？及考慮那些因 | |素？ | |　　假設(shè)已量測(cè)25個(gè)成品，其厚度分別為（單位：mm）： | |53　 48　54　51　48 | |52　46　50　51　49 | |47　55　52　53　47 | |51　50　50　48　52 | |50　48　52　49　47 | | | |參考此數(shù)據(jù)在若95%的把握下，請(qǐng)問該公司成品平均厚度在何范圍內(nèi)？ | 『現(xiàn)在我們有了25組數(shù)據(jù)，那么請(qǐng)問下一步我們?cè)撛趺崔k？』 『計(jì)算』他們已很清楚的了解統(tǒng)計(jì)就是數(shù)據(jù)透過計(jì)算產(chǎn)生出有意的情報(bào)。 『沒錯(cuò)，此例經(jīng)過計(jì)算之后我們得到[pic]= 50.12 σ= 2.403 接下來下一步該怎么辨呢？』 『老師，下一步是不是就要回答95%的產(chǎn)品厚度范圍有多寬了？』 『沒錯(cuò)，但是這該如何推測(cè)』 『老師，如果您能夠告訴我們95%的產(chǎn)品被含蓋在幾個(gè)σ之內(nèi)，我們就可以推 測(cè)出它的范圍』 利害！利害！這個(gè)學(xué)生不但學(xué)會(huì)了用反問法來脫身這一招，而且反問的還是 一個(gè)命中要害的問題，但是老姜當(dāng)然自有辣法，所以仍要四兩撥千金一下─ ─ 『這位同學(xué)的想法的確很高明，他的想法是機(jī)率和多少個(gè)σ之間一定會(huì)有關(guān) 系，而且彼此一定可以換算，這個(gè)想法其實(shí)就是常態(tài)分配機(jī)率論的基礎(chǔ)，因 此現(xiàn)在讓我們來看一下常態(tài)分配機(jī)率表(如附表一)，這個(gè)表的縱軸是到小數(shù) 點(diǎn)第一位的σ個(gè)數(shù)值，橫軸則是小數(shù)點(diǎn)第二位的σ個(gè)數(shù)值，而表內(nèi)的數(shù)字就是 圖中斜線區(qū)的機(jī)率，現(xiàn)在請(qǐng)大家一起來想一想95%的產(chǎn)品應(yīng)含蓋在多少個(gè)σ之 內(nèi)？』 同學(xué)們紛紛努力思索，個(gè)個(gè)都想拔頭籌，結(jié)果居然還是剛才反問我的學(xué)生找 到了答案。 『老師，是1.96個(gè)σ』他與奮的大叫。 『沒錯(cuò)，但是您是如何找到的呢？』 『老師，我先算出斜線的機(jī)率是2.5%也就是0.025，然后我就查表.......』 『等一下』我先打斷他的話，『能不能請(qǐng)你先說明一下0.025的來龍去脈？ 』 『老師，因?yàn)檫@個(gè)題目要預(yù)測(cè)的范圍95%，而斜線區(qū)正代表此范圍之外的機(jī) 率，因此兩邊斜線區(qū)加起來的機(jī)率應(yīng)該是5%(100% - 95%)，而如果我們假設(shè)左右斜線區(qū)各占一半，那么單一斜線區(qū)的機(jī)率，就是 2.5%也就是0.025』 『很好，然后呢？』 『然后我就先在常態(tài)分配機(jī)率表中找到0.025這個(gè)數(shù)字。從這個(gè)數(shù)字往左看 對(duì)應(yīng)的縱軸數(shù)字是1.9，而往上對(duì)應(yīng)的橫軸數(shù)字是6.0，參考老師剛才的說明 ，我就得到了1.96個(gè)σ的答案。』 　　他一面說明，其它的同學(xué)紛紛點(diǎn)頭，看到這種感人的場(chǎng)景，我不禁明白 其實(shí)在學(xué)習(xí)中導(dǎo)引學(xué)生領(lǐng)悟，反而比口沫橫飛的填鴨法還更有效呢！ 　　看到學(xué)生都若有所悟，這時(shí)該給他們更大的成就感，『既然，大家都已 明白95%的產(chǎn)品是被含蓋在±1.96個(gè)σ之內(nèi)，所以我們現(xiàn)在可以更確實(shí)地回答 原來的問題了嗎？』 『老師，95%產(chǎn)品的平均厚度會(huì)落在 50.12 ±1.96x2.403 之間』大家?guī)缀跏钱惪谕暤鼗卮鹆诉@個(gè)在15分鐘之前還摸不著頭緒的問題 ，這真是學(xué)習(xí)的一大興趣。 3.康莊大道 　　用實(shí)例可以幫助我們走過前人推理的思維過程，但是實(shí)例仍然有它的限 制性，因此若要能舉一反三觸類旁通，那就必須在大家明白實(shí)例之后，再將 其中的精華從表象中抽離出來(這就所謂的抽象)，成為一種可以反復(fù)運(yùn)用的 模型，因此，必須利用學(xué)生破解例子后興高彩烈的時(shí)刻，順便將他們帶入推 定的理論模型。 『同學(xué)們，你們希望將來無論遇到任何統(tǒng)計(jì)推定的問題時(shí)都能迎刃而解嗎？ 』 『希望』興奮的響應(yīng)。 『那我們來重新整理一下剛才的過程好嗎？』 『好！』 『請(qǐng)回想一下，剛才這個(gè)過程和我們的第一節(jié)統(tǒng)計(jì)課有什么關(guān)系？』 『老師，整個(gè)討論好象還是延著I→P→O 的過程在進(jìn)行嘛！』一位平常蠻沈默的同學(xué)倒先發(fā)言了。 『好極了，這是正確的觀察，于是又在黑板上畫出了。 I→P→O程序圖，只是比以前又多加上三個(gè)空的框框 [pic] [pic] 然后，反身問同學(xué) 『你們猜老師剛才多加的框框內(nèi)該填什么？』 『老師，答對(duì)了有沒有獎(jiǎng)品？』教室氣氛一好，同學(xué)居然會(huì)開始撒嬌了。 『跟我來這套！當(dāng)然有獎(jiǎng)品啊！答對(duì)的，下課時(shí)，可以先來擦黑板?！煌锣?回去，反而逗得全班同學(xué)大樂。 『請(qǐng)問您還要不要先搶答？』 『老師，如果擦黑板是獎(jiǎng)品，那擦黑板也沒有關(guān)系，我猜第一個(gè)框框內(nèi)應(yīng)該 填“樣本值”也就是剛才那個(gè)例子中的25個(gè)樣本的厚度值?！?『答對(duì)了，請(qǐng)大家給這位自告奮勇擦黑板的同學(xué)掌聲鼓勵(lì)好不好？』熱烈的 掌聲讓那位同學(xué)好不得意。 『那么第二個(gè)框框內(nèi)該填什么呢？』 馬上有同學(xué)舉手，我故意逗他『你也想來擦黑板?。俊凰俸偕敌?，真是老 實(shí)的可愛，于是幫他解圍── 『好，那請(qǐng)你先告訴大家你認(rèn)為第二個(gè)框框內(nèi)該填什么？』 『該填統(tǒng)計(jì)量就是[pic]和σ』連回答都很老實(shí)。 『又答對(duì)了！』這時(shí)同學(xué)的掌聲己自動(dòng)響起，真是一群會(huì)互相鼓勵(lì)的學(xué)生。 『那第三個(gè)框框該填什么呢？』這個(gè)問題似乎讓有些同學(xué)很為難，看到他們 痛苦的表情，不免又大動(dòng)側(cè)隱之心，于是說：『老師也想擦黑板，所以最后 一個(gè)框框可不可以由老師替大家來回答？』 『老師，沒有關(guān)系，你替我答，我替你擦黑板』一位同學(xué)馬上很阿莎力的響 應(yīng)。 『好，那我們一言為定，第三個(gè)框框請(qǐng)?zhí)睢巴贫ńY(jié)論”也可直接寫成“95%的產(chǎn) 品厚度在[pic]±1.96σ的范圍內(nèi)”』順便我又在黑板的另一邊寫下“推定的步 驟”五個(gè)大字，然后轉(zhuǎn)身告訴同學(xué)── 『剛才三個(gè)框框的推理過程其實(shí)就是統(tǒng)計(jì)推定的步驟?！?然后我轉(zhuǎn)身在黑板上寫上： 步驟1. 隨機(jī)抽取樣本 步驟2. 計(jì)算統(tǒng)計(jì)量([pic]，σ) 步驟3. 作出推定結(jié)論，下結(jié)論時(shí)可再細(xì)分成兩步驟 步驟3A.決定信賴水準(zhǔn)(Level of Confidence ,此例為95%) 步驟3B.決定信賴區(qū)間(Confidence interval ,此例即為[pic]±1.96σ) 『請(qǐng)各位記得這幾個(gè)步驟，那么將來無論你們遇到什么推定的問題都可以很 容易地迎刃而解了』 『由于各位上課很認(rèn)真尤其又肯熱烈參與討論，所以我再送各位一套錦囊， 好不好？』 『老師，那我也替你來擦黑板』嚴(yán)肅的班長居然也學(xué)會(huì)幽默了，這下非傾囊 相授不可，打開投影機(jī)，影幕上出現(xiàn)了── |常用信賴區(qū)間與σ個(gè)數(shù)對(duì)照表 | | 信賴水準(zhǔn) 　 含蓋σ個(gè)數(shù) 　　 信賴區(qū)間 | | | |　　　　　　　　　　90%　　　　　　1.645　　　　　　[pic]±1.645| |σ | |　　　　　　　　　　95%　　　　　　1.96　　　　　　 [pic]±1.96| |σ | |　　　　　　　　　　99%　　　　　　2.575　　　　　　[pic]±2.575| |σ | |　　　　　　　　　　99.73%　　　　 3　　　　　　　 [pic]±3 | |σ | 『這張表其實(shí)就是從剛才的常態(tài)分配機(jī)率表上整理出來的，如果將來各位碰 上一些特殊的信賴水準(zhǔn)，只要回去查表也一定會(huì)得到答案的?！?4.精益求精 　　雖然下課時(shí)間快到了，但是看著他們眼眸中的熱情，我就舍不得不再多 教他們一點(diǎn)，使他們能真正成為善用推定的高手。 『同學(xué)們，統(tǒng)計(jì)的推定好不好玩?。俊?『粉好玩！』居然有人學(xué)董月花。 『粉好玩的事有時(shí)候反而粉危險(xiǎn)，其中最大的危險(xiǎn)就是說不定您的推定會(huì)" 貢姑"，換句話說實(shí)際結(jié)果與您的推定可能會(huì)有很大的出入，請(qǐng)各位想想看 ，為什么會(huì)出現(xiàn)這種狀況？』 『老師，會(huì)不會(huì)是樣本有問題？』 『你認(rèn)為樣本可能會(huì)出現(xiàn)什么問題？』 『會(huì)不會(huì)所謂的樣本其實(shí)不太具有代表性？』 『能不能舉例說明？』 『譬如樣本是工程師在實(shí)驗(yàn)室作出來的，而將來實(shí)際大量生產(chǎn)的產(chǎn)品卻是由 生產(chǎn)線上的作業(yè)員生產(chǎn)的，這兩者之間有許多不同，不知道這是不是就會(huì)造 成推定"貢姑"？』 『太好了，這位同學(xué)的想法正是推定步驟1在樣本抽取上的大忌，像剛才他 舉的例子，如果我們要推定一般的量產(chǎn)能力，結(jié)果卻選取了工程師的特制產(chǎn) 品來作樣本，這種樣本就叫做偏差樣本（Biased Sample），用已有偏差的樣本來作推定，那當(dāng)然會(huì)繆以千里了』 『老師，那我們?cè)撛趺崔k？』 『最具體可行的辦法，就是隨機(jī)抽樣（Random Sampling），換言之，以剛才的例子我們其實(shí)應(yīng)該讓生產(chǎn)線的所有在制品都 有相同被抽中的機(jī)會(huì)，這樣抽出的樣本就可稱為不偏樣本（Unbiased Sample），從不偏樣本得到的推論才會(huì)具有代表性，這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)家為何一 再強(qiáng)調(diào)必須隨機(jī)抽樣（Random Sampling）的原因了?！?當(dāng)大多數(shù)同學(xué)正陶醉在若有所悟時(shí)，卻有一位同學(xué)狡黠地問了另一個(gè)問題─ ─ 『老師，偏差樣本是推定中唯一的陷阱嗎？』 『那你認(rèn)為呢？』反將他一軍。 『我猜應(yīng)該還有別的?！?『別的又會(huì)是什么呢？』再用一次不僨不啟的老招。 『剛才老師提到的第一個(gè)陷阱是有關(guān)樣本品質(zhì)（Quality）的問題，...
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